Электрический импеданс

Для термина «Сопротивление» см. также другие значения.

Электри́ческий импеда́нс (ко́мплексное электри́ческое сопротивле́ние) (англ. impedance от лат. impedio «препятствовать») — комплексное сопротивление между двумя узлами цепи или двухполюсника для гармонического сигнала.

Понятие и термин ввёл физик и математик О. Хевисайд в 1886 году.

Аналогия с электрическим сопротивлением проводника на примере резистора

Резистор — пассивный элемент, обладающий исключительно активным сопротивлением. Реактивная составляющая комплексного сопротивления резистора равна нулю, так как соотношение между напряжением на резисторе и током через него не зависит от частоты тока/напряжения, а также из-за того, что резистор является пассивным элементом (поскольку не содержит внутренних источников энергии). Если к его концам приложить некоторое напряжение [math]\displaystyle{ U }[/math] (подсоединить источник напряжения), то через резистор пойдёт электрический ток [math]\displaystyle{ I. }[/math] Если через резистор пропустить электрический ток [math]\displaystyle{ I }[/math] (подсоединить источник тока), то между концами резистора возникнет падение напряжения [math]\displaystyle{ U. }[/math] Резистор характеризуется электрическим сопротивлением, которое равно отношению напряжения [math]\displaystyle{ U, }[/math] к току [math]\displaystyle{ I }[/math] (см. закон Ома для участка цепи):

[math]\displaystyle{ R = \frac{ U }{ I }. }[/math]

Применение понятия «электрическое сопротивление» к реактивным элементам (катушка индуктивности и конденсатор) при постоянном токе приводит к тому, что:

• сопротивление идеальной катушки индуктивности стремится к нулю:

если пропустить через идеальную катушку индуктивности некоторый постоянный ток I, то при любом значении I, падение напряжения на катушке будет нулевым:

[math]\displaystyle{ U = 0; }[/math]

[math]\displaystyle{ R = \frac{ U }{ I } = \frac{ 0 }{ I } = 0; }[/math]

• сопротивление идеального конденсатора стремится к бесконечности:

если приложить к конденсатору некоторое постоянное напряжение [math]\displaystyle{ U, }[/math] то при любом значении [math]\displaystyle{ U, }[/math] ток через конденсатор будет нулевым:

[math]\displaystyle{ I = 0; }[/math]

[math]\displaystyle{ R = \frac{ U }{ I } = \frac{ U }{ 0 } = \infty. }[/math]

Это справедливо лишь для постоянного тока и напряжения. В случае же приложения к реактивному элементу переменного тока и напряжения, свойства реактивных элементов существенно иные:

• напряжение между выводами катушки индуктивности не равно нулю;
• ток, протекающий через конденсатор, не будет равен нулю.

Такое поведение не может быть описано в терминах активного сопротивления для постоянного тока, поскольку активное сопротивление предполагает постоянное, не зависящее от времени соотношение тока и напряжения, то есть отсутствие фазовых сдвигов между током и напряжением.

Было бы удобно иметь некоторый параметр, аналогичный активному сопротивлению и для реактивных элементов, который бы связывал ток и напряжение на них подобно активному сопротивлению в формуле закона Ома для постоянного тока.

Такую характеристику можно ввести, если рассмотреть свойства реактивных элементов при воздействиях на них гармонических сигналов. В этом случае ток и напряжение оказываются связаны некой константой (подобной в некотором смысле активному сопротивлению), которая и получила название «электрический импеданс» (или просто «импеданс»). При рассмотрении импеданса используется комплексное представление гармонических сигналов, поскольку именно в таком представлении одновременно учитываются и амплитудные, и фазовые характеристики гармонических сигналов и откликов систем на гармоническое воздействие.

Определение

Импедансом [math]\displaystyle{ \hat z(j \omega)\; }[/math] называется отношение комплексной амплитуды напряжения гармонического сигнала, прикладываемого к двухполюснику, к комплексной амплитуде тока, протекающего через двухполюсник в установившемся режиме, то есть после завершения переходных процессов. Для линейных пассивных цепей с постоянными параметрами в установившемся режиме импеданс не зависит от времени. Если время [math]\displaystyle{ t }[/math] в математическом выражении для импеданса не сокращается, значит, для данного двухполюсника понятие импеданса неприменимо.

[math]\displaystyle{ \hat z(j \omega)\;= \frac{\hat u(j \omega, t)\;}{\hat i(j \omega, t)\;} = \frac{U(\omega) e^{j(\omega t + \phi_u(\omega))}}{I(\omega) e^{j(\omega t + \phi_i(\omega))}} = \frac {U(\omega) e^{j\phi_u(\omega)}}{I(\omega) e^{j\phi_i(\omega)}} = \frac{\hat U(j\omega)\;}{\hat I(j\omega)\;} }[/math]

(1)

Здесь:

• [math]\displaystyle{ j }[/math] — мнимая единица;
• [math]\displaystyle{ \omega }[/math] — циклическая (круговая) частота;
• [math]\displaystyle{ U(\omega),~I(\omega) }[/math] — амплитуды напряжения и тока гармонического сигнала на частоте [math]\displaystyle{ \omega; }[/math]
• [math]\displaystyle{ \phi_u(\omega),~\phi_i(\omega) }[/math] — фазы напряжения и тока гармонического сигнала на частоте [math]\displaystyle{ \omega; }[/math]
• [math]\displaystyle{ \hat U(j\omega),~\hat I(j\omega)\; }[/math] — комплексные амплитуды напряжения и тока гармонического сигнала на частоте [math]\displaystyle{ \omega. }[/math]

Исторически сложилось, что в электротехнике обозначение импеданса, комплексных амплитуд и других комплексных функций частоты записывают как [math]\displaystyle{ f (j\omega), }[/math] а не [math]\displaystyle{ f (\omega). }[/math] Такое обозначение подчёркивает, что используются комплексные представления гармонических функций вида [math]\displaystyle{ e^{j \omega t}. }[/math] Кроме того, над символом, обозначающим комплексный сигнал или комплексный импеданс, обычно ставят «домик» или точку: [math]\displaystyle{ \dot{U}(j\omega)\; }[/math] чтобы отличать от соответствующих действительных величин.

Физический смысл

Алгебраическая форма

Если рассматривать комплексный импеданс как комплексное число в алгебраической форме, то действительная часть соответствует активному сопротивлению, а мнимая — реактивному. То есть двухполюсник с импедансом [math]\displaystyle{ \hat z(j \omega)\; }[/math] можно рассматривать как последовательно соединенные резистор с сопротивлением [math]\displaystyle{ \Re(\hat z(j \omega)) }[/math] и чисто реактивный элемент с импедансом [math]\displaystyle{ \Im(\hat z(j \omega)). }[/math]

Рассмотрение действительной части полезно при расчёте мощности, выделяемой в двухполюснике, поскольку мощность выделяется только на активном сопротивлении.

Тригонометрическая форма

Пример графического представление импеданса на комплексной плоскости

Если рассматривать импеданс как комплексное число в тригонометрической форме, то модуль соответствует отношению амплитуд напряжения и тока (сдвиг фаз не учитывается), а аргумент — сдвигу фазы между током и напряжением, то есть на сколько фаза тока отстаёт от фазы напряжения или опережает.

Ограничения

Понятие импеданса в классической форме применимо, если при приложении к двухполюснику гармонического напряжения, ток, вызванный этим напряжением, также гармонический той же частоты. Для этого необходимо и достаточно, чтобы двухполюсник был линейным и его параметры не менялись со временем и закончились переходные процессы. Если это условие не выполнено, то импеданс не может быть найден по следующей причине: невозможно получить выражение для импеданса, не зависящее от времени [math]\displaystyle{ t, }[/math] поскольку при вычислении импеданса множитель [math]\displaystyle{ e^{j \omega t} }[/math] в (1) не сокращается.

• Однако и для линейных двухполюсников (для которых зависимость от времени сокращается) импеданс всё же зависит от частоты (за исключением случая когда двухполюсник сводится к схеме из одних резисторов и импеданс оказывается действительной величиной).

Практически это означает, что импеданс может быть вычислен для любого двухполюсника, состоящего из резисторов, катушек индуктивности и конденсаторов, то есть из линейных пассивных элементов. Также импеданс хорошо применим для активных цепей, линейных в широком диапазоне входных сигналов (например, цепи на основе операционных усилителей). Для цепей, импеданс которых не может быть найден в силу указанного выше ограничения, бывает полезным найти импеданс в малосигнальном приближении — для бесконечно малой амплитуды сигнала для конкретной рабочей точки. Для этого необходимо перейти к эквивалентной схеме и искать импеданс для неё.

Обобщенный импеданс в s-плоскости и преобразование Лапласа

Импедансы, определённые через комплексную частоту [math]\displaystyle{ j\omega, }[/math] позволяют вычислять частотный отклик некоторой линейной цепи, возбуждаемой гармоническим сигналом, причём только в установившемся режиме. Для расчёта отклика цепи на сигнал, произвольно изменяющийся во времени применяется обобщенный импеданс — функции комплексной переменной [math]\displaystyle{ s = \sigma+j\omega }[/math] и отклик цепи во временно́й области вычисляется через обратное преобразование Лапласа, причем в таких вычислениях возбуждающий сигнал [math]\displaystyle{ f_{in}(t) }[/math] из временного представления должен быть предварительно преобразован в комплексное представление [math]\displaystyle{ F_t(s) }[/math] через прямое преобразование Лапласа:

[math]\displaystyle{ F_t(s) = \int_{0}^\infty f_{in}(t) e^{-st}\,dt. }[/math]

Комплексный отклик системы выражается обычным способом через преобразованное комплексное представление возбуждающего сигнала и комплексную передаточную функцию системы [math]\displaystyle{ H(s): }[/math]

[math]\displaystyle{ F_{t,H}(s) = H(s)\ F_t(s). }[/math]

Двухполюсник	Обобщённый импеданс
Резистор	[math]\displaystyle{ R \, }[/math]
Катушка индуктивности	[math]\displaystyle{ sL \, }[/math]
Конденсатор	[math]\displaystyle{ \frac{1}{sC} \, }[/math]

Комплексная передаточная функция вычисляется обычным методом расчёта электрических цепей, например, по правилам Кирхгофа, в формулы в качестве сопротивлений подставляются обобщённые импедансы. Обобщённые импедансы пассивных двухполюсников приведены в таблице. Например, обобщённый импеданс цепи, состоящей из последовательно включённых резистора и катушки индуктивности будет [math]\displaystyle{ R + sL. }[/math]

Отклик цепи во временно́й области вычисляется обратным преобразованием Лапласа:

[math]\displaystyle{ f_{F,H}(t) = \mathcal{L}^{-1}[H(s)\ F_t(s)] = \frac{1}{2\pi j}\int\limits_{\sigma_1-j\cdot\infty}^{\sigma_1+j\cdot\infty} e^{st}H(s)\ F_t(s)\,ds, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \sigma_1\ }[/math] — некоторое вещественное число, выбираемое из условий сходимости интеграла.

Пример вычисления временно́го отклика RC-фильтра нижних частот на ступенчатое возмущение

Пассивный RС-фильтр нижних частот 1-го порядка

Простейший фильтр нижних частот 1-го порядка изображён на рисунке и состоит из последовательно соединённых резистора и конденсатора, образующего делитель напряжения для входного сигнала где выходной сигнал снимается с конденсатора, обобщённый комплексный коэффициент передачи [math]\displaystyle{ H_{RC}(s) }[/math] такого делителя:

[math]\displaystyle{ H_{RC}(s) = \frac {1/sC}{R + 1/sC} = \frac{1}{sRC + 1} = \frac{1}{sT + 1}, }[/math]

где обозначено [math]\displaystyle{ T = RC }[/math] — постоянная времени RС-цепи.

Ступенчатый входной сигнал можно выразить через функцию Хевисайда [math]\displaystyle{ h(t): }[/math]

[math]\displaystyle{ U_{in}(t) = U_0\ h(t), }[/math]

где [math]\displaystyle{ U_0 }[/math] — амплитуда ступеньки.

Преобразование Лапласа входного сигнала:

[math]\displaystyle{ F_{in}(s) = \mathcal{L}[U_0\ h(t)] = \int\limits_{0}^{\infty} e^{-st}\, U_0\, h(t) \,dt = U_0/s. }[/math]

[math]\displaystyle{ U_{out}(t) = \mathcal{L}^{-1}[H_{RC}(s)\ F_{in}(s)] = \frac{1}{2\pi j}\int\limits_{\sigma_1-j\cdot\infty}^{\sigma_1 + j\cdot\infty} e^{st}\frac{1}{sT + 1}\cdot \frac {U_0}{s}\,ds = U_0(1 - e^{-t/T}). }[/math]

Таким образом, получен отклик цепи при нулевом начальном условии ([math]\displaystyle{ U_C = 0 }[/math] при [math]\displaystyle{ t = 0 }[/math]), такой же, как и при применении другого метода расчёта, например, из решения обыкновенного дифференциального уравнения.

Для практического применения расчета цепей (и других расчётов) составлены подробные таблицы прямого и обратного преобразования Лапласа многих часто встречающихся при расчётах функций.

Комбинируя преобразование Лапласа с использованием его свойств и интеграл Дюамеля обычно относительно легко найти отклики во временной области самых различных линейных электрических цепей.

Вычисление импеданса

Идеальные элементы

Резистор

Для резистора импеданс всегда равен его сопротивлению [math]\displaystyle{ R }[/math] и не зависит от частоты:

[math]\displaystyle{ z_R = R }[/math]

(2)

Конденсатор

Ток и напряжение для конденсатора связаны соотношением:

[math]\displaystyle{ i(t)=C \frac {dU}{dt}. }[/math]

(3)

Отсюда следует, что при напряжении

[math]\displaystyle{ \hat u(j \omega, t) = U(\omega) e^{j(\omega t + \phi_u(\omega))} }[/math]

(4)

ток, текущий через конденсатор, будет равен:

[math]\displaystyle{ \hat i(j \omega, t) = C \frac {d}{dt} \left( U(\omega) e^{j(\omega t + \phi_u(\omega))} \right) = j \omega C U(\omega) e^{j(\omega t + \phi_u(\omega))}. }[/math]

(5)

После подстановки (4) и (5) в (1) получаем:

[math]\displaystyle{ \hat z_C(j \omega) = \frac {1}{j \omega C} = - \frac {j}{ \omega C}. }[/math]

(6)

Катушка индуктивности

Аналогичное рассмотрение для катушки индуктивности приводит к результату:

[math]\displaystyle{ \hat z_L(j \omega)\;= j \omega L. }[/math]

(7)

Общий случай

Для произвольного двухполюсника, состоящего из элементов с известным импедансом, нет необходимости производить приведенные выше вычисления с целью нахождения импеданса. Импеданс находится по обычным правилам расчёта сопротивления сложной цепи, то есть используются формулы для сопротивления при параллельном и последовательном соединении резисторов. При этом все математические операции производятся по правилам действий над комплексными числами. Например, импеданс идеальных последовательно соединенных резистора, конденсатора и катушки индуктивности будет равен:

[math]\displaystyle{ \hat Z(j \omega)\ = R + \frac {1}{j \omega C} + j \omega L = R - \frac {j}{\omega C} + j \omega L = R + j \left(- \frac {1}{\omega C} + \omega L \right). }[/math]

(8)

Экспериментальное измерение импеданса

Прямое измерение импеданса требует измерения амплитуд синусоидальных напряжения и тока изучаемого двухполюсника, и одновременного измерения сдвига фазы между ними.

Импеданс также часто измеряют компенсационными методами с помощью мостов переменного тока, подобными мосту Уитстона для постоянного тока, при таких измерениях мост балансируют изменением эталонных реактивного и активного элементов, по величине реактивного и активного сопротивления эталонных элементов, требуемого для балансировки моста, определяется измеряемый импеданс.

В силовых устройствах измерение импеданса может потребовать одновременного измерения и подачи питания на работающее устройство.

Измерение импеданса устройств и линий передач является практической задачей в радиотехнике и других областях.

Измерения импеданса обычно проводятся на одной частоте, но если требуется определить зависимость импеданса от частоты, то измерения проводят на нескольких частотах в нужном диапазоне частот.

Активная и реактивная составляющие импеданса обычно выражают в омах. Однако, для характеризации антенн, линиях передачи, СВЧ электронных устройств обычно более удобно использовать связанные с ним S-параметры, коэффициент стоячей волны или коэффициент отражения.

Сопротивление устройства можно рассчитать путем деления комплексных напряжения и тока. Полное сопротивление устройства рассчитывается путем подачи синусоидального напряжения на устройство последовательно с эталонным резистором и измерения напряжений на резисторе и на самом устройстве. Выполнение этого измерения на нескольких частотах тестирующего сигнала обеспечивает определение фазового сдвига и величины импеданса.

Измерение отклика исследуемой цепи на импульсный тестирующий сигнал можно использовать в сочетании с быстрым преобразованием Фурье для измерения импеданса различных электрических устройств.

LCR-измеритель (индуктивность L, емкость C и сопротивление R) или измеритель иммитанса — это устройство, обычно используемое для измерения индуктивности, сопротивления и ёмкости компонента. Из этих значений можно рассчитать полное сопротивление на любой частоте.

Применение понятия импеданса

Введение импеданса позволяет описывать поведение двухполюсника с реактивными свойствами при воздействии на него гармонического сигнала. Кроме того, в случае негармонического сигнала импеданс применяется столь же успешно. Для этого применяется преобразование Лапласа, либо сигнал раскладывается на спектральные компоненты при помощи ряда Фурье (или преобразования Фурье) и рассматривается воздействие каждой спектральной компоненты. Вследствие линейности двухполюсника сумма откликов на спектральные компоненты равна отклику на исходный негармонический сигнал .

См. также

• Внутреннее сопротивление
• Адмиттанс
• АФЧХ

Литература

• Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. — 9-е изд. — М.: Высшая школа, 1996.
• Графов Б. М., Укше Е. А. Электрохимические цепи переменного тока. — М.: Наука, 1983.